十进制和人的十个指头

小朋友们最开始学习算术的时候,因为没有心算能力,基本上都是从数手指头开始学起的。十以内的加减法,通过数手指头就能得到答案。之所以大家都数手指头,是因为正常人都有两只手,十个指头,正好可以用来数数。当然并不一定非要数手指头,但手指头是现成的数数工具,方便快捷,所以普及性很高,大家都会不约而同地采用这一方法。

不仅小朋友们学算术时要数手指头,原始人类在遇到算术问题时也要数手指头,甚至十进制的产生和十个指头也有很大的关系。要知道十进制是怎么产生的,首先要知道进制是怎么回事,有什么意义。

进制就是进位计数制,也就是达到了某个数字就要进位,进位也就是进一位的意思,进位之后,数字就多了一位数。之所以要进位,一是因为基本数字是有限的,比如说阿拉伯数字总共就只有10个,如果不进位的话,就必须创造更多的数字来表示数值更大的数字,而有了进制之后,我们用10个基本的阿拉伯数字就可以表示所有的数字了。二是进制的表达更为简洁,对于那些数值很大的数字,只需进位就可以了,比如说100,用十进制表示就是100,而如果用画竖线的方法来表示,就要画100条才行;用画正字的方法来表示,也要用20个正字才行,这样显然是很麻烦的。

因此,进制对于我们更方便地表示和使用数字有很重要的意义和作用。进制也并不只有十进制,只是大家日常生活中最常用的是十进制,从小学习的也是十进制,所以大家就对十进制最熟悉,理所当然地一提到进制就想到十进制了。

除了十进制,常用的还有二进制、十二进制和六十进制等。二进制和计算机有很大的关系,因为计算机元件只有开关两种状态,所以适合用二进制来表示。二进制就是逢二就进位,比如说2用二进制来表示就是10。二进制用阿拉伯数字系统来表示容易引起误会,用±来表示就不容易搞混了,比如说+代表1,-代表0,那么2用二进制表示就是+-,5用二进制表示就是+-+,10用二进制表示就是+-+-,不过二进制在生活中不常用,大多数人一开始接触都转不过弯来,总是认为逢10才能进位,这就是惯性思维在作祟。

另外,在时间上还有十二进制和六十进制,比如说一年是十二个月,十二个月到了就要进位,也就是进入新的一年了。一天是十二个时辰(24个小时),24个小时过去了就要进位,也就是进入新的一天了。一小时是60分钟,一分钟是60秒,60分钟过去了就要进位,也就是进入新的一小时了;60秒过去了就要进位,也就是进入新的一分钟了。

时间是人为规定的,进制自然也是人为规定的,时间之所以要使用十二进制和六十进制,而不是常用的十进制,这和天文现象和钟表的结构原理有关。十二进制的出现,是因为地球的公转周期和月球的公转周期比值约为12。古人发现地球围绕太阳公转一周的时间(也就是一年),和月球围绕地球公转的周期(也就是一月)之间存在12倍左右的关系,也就是一年有12次阴晴圆缺。这两个周期本身是没有什么关联的,但是为了让两者联系起来,就人为规定一年有12个月了。一天有12个时辰或24个小时,也是受到了这一比值的影响。另外,中国古代十二年也被叫作一纪,这是木星绕太阳公转一周的时间,李商隐《马嵬》诗中就有“如何四纪为天子,不及卢家有莫愁”,《西游记》中也有孙悟空给寇员外延了一纪阳寿的记述。

至于六十进制,其实就是角度的进制,钟表的时针、分针和秒针都在做圆周运动,而圆的角度就是360°,用六十进制比较容易划分,所以时分秒之间的进制就是六十进制,而不是十进制,也不是十二进制。当然,年以上的进制还是十进制,逢十就要进位,秒以下的时间也是十进制。所以,时间系统其实一共有三套进制,这也并不奇怪,因为时间刻度就是人类为了更好掌握和利用时间,借助各种天文物理现象人为规定的,怎么更合适,更方便就怎么来,而且这些时间刻度能一直沿用至今,说明也确实是比较合理的,否则早就被淘汰了。

十进制的出现并不是偶然现象,除了阿拉伯数字系统,其他一些文明的数字系统基本上都是十进制的,比如说汉字的数字系统也是十进制,能和阿拉伯数字系统一一对应,这就说明十进制是人类文明共通的。而之所以大多数人类文明都采用十进制,最主要的原因就是正常人都有十个指头。

因为人只有十个指头,数到十就数不动了,只有选择进位,因此就出现了十进制。十进制总的来说也是比较合理的,一方面,十进制只需10个基本数字就可以表示所有的数字,完全可以应对日常生活所需;另一方面,10个基本数字也不算太多,学习难度也不大,如果是二十进制的话,就需要掌握二十个基本数字,这样难度就大很多了,但是如果是五进制的话,来表示其他数字就比较麻烦了,如果用二进制就更麻烦了,比如说同样是256,用十进制表示只有三位数,用二进制表示就有九位数(100000000)。当然,十进制并不是在任何应用场景下都非常合理,在表示一下更大的数字时,比如上亿的数字,十进制也有些无力,100000000后面就跟着8个零,一不小心就容易数漏了,或者数多了。

十进制之所以会产生,并且一直存在,一方面和人的十个指头有很大关系,另一方面则是历史习惯使然,在某些方面,十进制其实已经不太实用,但是由于人类的整个数字系统都是建立在十进制之上的,所以要想改变也很困难,而且也没什么改变的必要性和紧迫性。

十进制的出现也有一定的偶然性,虽然大多数人都是双手十个指头,但是也有一些人是双手十二指头的,如果这些人经过自然选择成为了人类的主流,那么人类就该使用十二进制,而不是十进制了。当然,人类进化成双手十个指头也是很多必然和偶然因素的结合,人类是从古生物一步一步进化而来,除了人类,还有很多物种也都是双手十个指头。另外,双手十个指头也比较灵活,便于使用各种工具,所以才在自然选择中一直保存了下来,这也算得上是历史的必然,那么十进制的出现也就是历史的必然了。

其实十二进制也很好理解,只是因为大家都习惯使用十进制了,有先入为主的惯性思维作祟,总是会用十进制的数字系统去套十二进制,一想到十后面的两个数字,就是11和12,所以往往就会产生误解。要想更容易理解十二进制,就要抛开十进制的阿拉伯数字系统,因为阿拉伯数字系统是为十进制服务的。正好中国古代有天干地支来记录时间,而地支正好又有12个,分别是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,用地支来理解十二进制就比较容易了(十二地支和一天十二个时辰就是一一对应的),规则就是逢亥进位,亥则对应阿拉伯数字系统中的0,比如说12用十二进制表示就是“子亥”,23用十二进制表示就是“子戌”,24用十二进制表示就是“丑亥”。

因为采用了十进制,所以人们往往对十百千这些整数特别敏感,因为它们在形式上很整齐,但这些数其实并没有什么特殊意义,只是在十进制下才显得特别了一些。如果在二进制中,十百千分别就是1010,1100100,1111101000,并没有什么特别之处,也并不整齐。在二进制中,反倒是32,64,128和256这些数字(2的幂次方)比较特殊,因为他们在二进制下分别是100000,1000000,10000000,100000000,看起来就整齐多了。所以一个数字是否很特别,关键要看在什么样的进制下。只要在特定的进制下,任何一个数字都可以在形式上变得很整齐,显得很特别。

进制的本质就是要进位,进一次位就相当于做了一次幂运算,所以在n进制下,任何n的幂次方在形式上都会很整齐,显得很特别,比如说十百千之所以特别,就是因为它们都是十的幂次方。在进位计数制下,必然会存在这样一些形式上特别整齐的数字,这是进制自带的属性,所以并没有什么好大惊小怪的,更不应该牵强附会,过度解读。当然,大家对于这些在形式上很整齐的数字情有独钟也是可以理解的,不仅是因为这些数字更美观,更是因为他们比较容易识别,也更常用。而且在十进制下,十百千这些数字就是比其他数字更特别,这也是不可否认的。

2021年12月1日